費馬大定理 - 求完整的證明過程

1、費馬大定理，又被稱為“費馬最後的定理”，由17世紀法國數學皮耶.德.費馬提出。

2、當整數n>2時，關於x，y，z方程xn+yn=zn沒有正整數解。

3、由於費馬沒有寫下證明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激發了許多數學字對這一猜想的興趣。數學家們的有關工作豐富了數論的內容，涉及許多數學手段，推動了數論的發展。

費馬大定理，求完整的證明過程

      x+y=z有無窮多組整數解，稱為一個三元組x^2+y^2=z^2也有無窮多組整數解，這個結論在畢達哥拉斯時代就被他的學生證明，稱為畢達哥拉斯三元組，我們中國人稱他們為勾股數。但x^3+y^3=z^3卻始終沒找到整數解。

     最接近的是：6^3+8^3=9^-1，還是差了1。於是迄今為止最偉大的業餘數學家費馬提出了猜想：總的來説，不可能將一個高於2次的冪寫成兩個同樣次冪的和。因此，就有了：

    已知：a^2+b^2=c^2

     令c=b+k，k=1.2.3……，則a^2+b^2=(b+k)^2。

    因為，整數c必然要比a與b都要大，而且至少要大於1，所以k=1.2.3……

     設：a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)

      則a^2+b^2=c^2就可以寫成d^n+h^n=p^n，n=1.2.3……

   當n=1時，d+h=p，d、h與p可以是任意整數。

   當n=2時，a=d，b=h，c=p，則d^2+h^2=p^2 => a^2+b^2=c^2。

    當n≥3時，a^2=d^n，b^2=h^n，c^2=p^n。

      因為，a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)要想保證d、h、p為整數，就必須保證a、b、c必須都是完全平方數。

    a、b、c必須是整數的平方，才能使d、h、p在d^n+h^n=p^n公式中為整數。

     假若d、h、p不能在公式中同時以整數的形式存在的話，則費馬大定理成立。

費馬大定理，求完整的證明過程

設：a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)則a^2+b^2=c^2就可以寫成d^n+h^n=p^n，n=1.2.3……當n=1時，d+h=p，d、h與p可以是任意整數。

1證明過程（部分）

1、若a，b，c都是大於0的不同整數，m是大於1的整數，如有a^m+b^m=c^m+d^m+e^m同方冪關係成立，則a，b，c，d，e增比後，同方冪關係仍成立.

證：在定理原式a^m+b^m=c^m+d^m+e^m中，取增比為n，n＞1

得到：（na）^m+（nb）^m=（nc）^m+（nd）^m+（ne）^m

原式化為：n^m（a^m+b^m）=n^m（c^m+d^m+e^m）

兩邊消掉n^m後得到原式.

所以，同方冪數和差式之間存在增比計算法則，增比後仍是同方冪數.

2、若a，b，c是不同整數且有a^m+b=c^m關係成立，其中b＞1，b不是a，c的同方冪數，當a，b，c同比增大後，b仍然不是a，c的同方冪數.

證：取定理原式a^m+b=c^m

取增比為n，n＞1，得到：（na）^m+n^mb=（nc）^m

原式化為：n^m（a^m+b）=n^mc^m

兩邊消掉n^m後得到原式.

由於b不能化為a，c的同方冪數，所以n^mb也不能化為a，c的同方冪數.

所以，同方冪數和差式間含有的不是同方冪數的數項在共同增比後，等式關係仍然成立.

其中的同方冪數數項在增比後仍然是同方冪數，不是同方冪數的數項在增比後仍然是非同方冪數.