為什麼解空間的維數等於n - r

根據秩-零定理，Ax=0的解空間維數是n-r(A)維。

或通過行初等變換把A化成行階梯型。

x1a1+x2a2+……+xrar+x(r+1)a(r+1)+……+xnan=0。

那接下來便是設定a1，a2，……，ar是極大無關向量組，則。

x1a1+x2a2+……+xrar=-x(r+1)a(r+1)-……-xnan。

則若x(r+1)，x(r+2)，……，xn確定後，左邊x1，x2，……，xr也確定了。

所以這個x維數就是n-r。

基本原理：

解向量是線性方程組的一個解。因為一組解在空間幾何裏可以表示為一個向量回，所以叫答做解向量。解向量在矩陣和線性方程組中是常用概念。

如果n元齊次線性方程組Ax=0的係數矩陣的秩R(A)=r<n，則解空間S的基礎解系存在，且每個基礎解系恰有n-r個解向量。

因為一組解在空間幾何裏可以表示為一個向量，所以叫做解向量。解向量在矩陣和線性方程組中是常用概念。

向量的記法：印刷體記作黑體（粗體）的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭“→”。如果給定向量的起點（A）和終點（B），可將向量記作AB（並於頂上加→）。在空間直角座標系中，也能把向量以數對形式表示，例如xOy平面中(2，3)是一向量。

齊次線性方程組的解空間的維數即基礎解系所含向量的個數即 n-r(A)。

線性方程組主要討論的問題是：

①一個方程組何時有解。

②有解方程組解的個數。

③對有解方程組求解，並決定解的結構。

這幾個問題均得到完滿解決：所給方程組有解，則秩(A)=秩(增廣矩陣)若秩(A)=秩=r，則r=n時，有唯一解r<n時，有無窮多解可用消元法求解。