到底什麼是三線合一定理

定義 在等腰三角形ABC中，(設AB=AC) 它的底邊上的高線，底邊上的中線，及頂角平分線重合叫做“三線合一” 前提： 在等腰三角形中 證明

1、底邊上的中線推底邊上的高線和頂角平分線 .∵AB=AC ∴∠B=∠C 又∵BD=DC，AD=AD ∴△ADB≌△ADC 可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC ∴AC⊥BD，AD平分∠BAC 其餘兩個推廣結論證明與之類似，不重複。

應用 1.∵AB=AC，BD=DC=1/2BC ∴AC⊥BD，AD平分∠BAC

2、∵AB=AC，AC⊥BD ∴BD=DC=1/2BC，AD平分∠BAC

3、∵AB=BC，AD平分∠BAC ∴AC⊥BD，BD=DC=1/2BC 逆推結論 在一三角形中，一邊上的高線與此邊上的中線，及此邊對角角平分線中 任意兩線重合可推知此三角形為等腰三角形。（注意：其中一邊上的中線與此邊對角角平分線重合推證等腰三角形，可應用正弦定理，或過此邊中點作另外兩邊垂線。）

三線合一，即在等腰三角形（包括等邊三角形）中（前提）頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合，就叫三線合一（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不適用）

在等腰三角形ABC中，(設AB=AC) 它的底邊上的高線，底邊上的中線，及頂角平分線重合叫做“三線合一” 前提： 在等腰三角形中 

證明

1、底邊上的中線推底邊上的高線和頂角平分線 .∵AB=AC ∴∠B=∠C 又∵BD=DC，AD=AD ∴△ADB≌△ADC 可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC ∴AC⊥BD，AD平分∠BAC 其餘兩個推廣結論證明與之類似，不重複。

應用 1.∵AB=AC，BD=DC=1/2BC ∴AC⊥BD，AD平分∠BAC

2、∵AB=AC，AC⊥BD ∴BD=DC=1/2BC，AD平分∠BAC

3、∵AB=BC，AD平分∠BAC ∴AC⊥BD，BD=DC=1/2BC 逆推結論 在一三角形中，一邊上的高線與此邊上的中線，及此邊對角角平分線中 任意兩線重合可推知此三角形為等腰三角形。（注意：其中一邊上的中線與此邊對角角平分線重合推證等腰三角形，可應用正弦定理，或過此邊中點作另外兩邊垂線。）