最高階非零子式求法

1、 對矩陣，施行標準，程序的初等行變換，把矩陣化成行階梯形，矩陣的最高階非零子式，可取為它的非零行的非零首元，所在的行和列，構成的子式。

2、 相應於的這些行和列，取中對應的行和列，構成的子式，即為一個最高階非零子式。

3、 這樣選出的這個子式，對它施行與上述，對矩陣的這些行，一樣的初等行變換後，此行列式恰好，化為上三角行，行列式，它與非零子式，僅相差一個非零常數倍，從而就是一個階非零子式，即它是一個最高階非零子式。

1、 最高階非零子式，就是矩陣A中含有一個不等於零的r階子式D，然後且r+1階都等於零，那麼D稱為矩陣的最高階非零子式。

2、 最高階非零子式，要在矩陣D化成最簡形d後取，因為這樣比較直觀的看出非零子式，並不是要在化後的式子中取，而是要在D中取，只不過是要通過d，較直觀的看出，然後再進行在D中取。

注：用初等行變換(不交換行)化成梯矩陣

非零行的首非零元所在列構成一個最高階非零子式：

2 1 8 3 7

2 -3 0 7 -5

3 -2 5 8 0

1 0 0 2 0

r1-2r4，r2-2r4，r3-3r4

0 1 8 -1 7

0 -3 0 3 -5

0 -2 5 2 0

1 0 0 2 0

r2+3r1，r3+2r1

0 1 8 -1 7

0 0 24 0 16

0 0 21 0 14

1 0 0 2 0

r3-(21/24)r2

0 1 8 -1 7

0 0 24 0 16

0 0 0 0 0

1 0 0 2 0

容易看出2，3行成比例，所以第1，2，4行，1，2，3列構成一個最高階非零子式。

擴展資料：

變化規律

(1)轉置後秩不變

(2)r(A)<=min(m，n)，A是m*n型矩陣

(3)r(kA)=r(A)，k不等於0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A)，r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

證明：

AB與n階單位矩陣En構造分塊矩陣

|AB O|

|O En|

A分乘下面兩塊矩陣加到上面兩塊矩陣，有

|AB A|

|0 En|

右邊兩塊矩陣分乘-B加到左邊兩塊矩陣，有

|0 A |

|-B En|

所以，r(AB)+n=r(第一個矩陣)=r(最後一個矩陣)>=r(A)+r(B)

即r(A)+r(B)-n<=r(AB)

注：這裏的n指的是A的列數。這裏假定A是m×n matrix。

特別的：A:m*n，B:n*s，AB=0 -> r(A)+r(B)<=n

(8)P，Q為可逆矩陣， 則 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。

在m*n矩陣A中，任取k行與k列（k<=m，k<=n），位於這些行列交叉處的k^2個元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得到的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式.