杜如晦跟杜牧有什麼關係

沒有關係。

杜如晦（585年－630年），字克明，京兆郡杜陵縣（今陝西省西安市長安區）人。唐朝初年名相，襄州刺史杜吒之子。[1]

出身京兆杜氏，初仕隋朝，授滏陽縣尉。晉陽起兵後，成為唐太宗李世民幕府謀臣，授兵曹參軍。遷陝州長史，從平薛仁杲、劉武周、王世充、竇建德叛亂。遷秦王府從事中郎，積極運籌帷幄，為時人所敬服。文學館建立後，位列十八學士之首。與房玄齡等參與策劃“玄武門之變”。