椭圆的标准方程x和y怎么求

椭圆的标准方程共分两种情况[1]：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)

其中a^2-c^2=b^2

推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)

中文名

椭圆标准方程

外文名

Standard equation of the ellipse

别称

线条

表达式

x^2/a^2+y^2/b^2=1

提出者

数学家

方程推导

设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a（2a>2c）。

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1，F2的坐标分别为（-c，0)，（c，0)。

设M(x，y)为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知

|MF1|+|MF2|=2a，（a>0）

即

将方程两边同时平方，化简得

两边再平方，化简得

又

设

得

两边同除以 ，得

这个形式是椭圆的标准方程。

通常认为圆是椭圆的一种特殊情况[2] 。

非标准方程

其方程是二元二次方程，可以利用二元二次方程的性质进行计算，分析其特性[3] 。

几何性质

X，Y的范围

当焦点在X轴时 -a≤x≤a，-b≤y≤b

当焦点在Y轴时 -b≤x≤b，-a≤y≤a

对称性

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

顶点：

焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）

短轴顶点：（0，b），（0，-b）

焦点在Y轴时：长轴顶点：（0，-a），（0，a）

短轴顶点：（b，0），（-b，0）

注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻[4] 。

焦点：

当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c，0）F2(c，0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0，c)

计算方法

(（其中 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长，可由圆的面积可推导出来)或 （其中 分别是椭圆的长轴，短轴的长）[5] 。

圆和椭圆之间的关系：

椭圆包括圆，圆是特殊的椭圆。

参考资料

[1] 曹才翰.中国中学教学百科全书:数学卷[M].沈阳:沈阳出版社

[2] 沈金兴. 数学文化视角下的椭圆标准方程推导[J]. 数学通讯， 2015(8):