n次根號下n的極限

  以下n^(1/n)表示n的1/n次方，即n的n次算術根。

解:當n>1時，顯然

n^(1/n)-1>0。

令n^(1/n)-1=t，則t>0，由二項式定理得

n=(1+t)^n

=C(n，0)t^0+C(n，1)t^1+C(n，2)t^2+。

。。。 。。+C(n，n)t^n

>C(n，2)t^2

=n(n-1)t^2/2。

因此

2>(n-1)t^2

從而

t0

n^(1/n)-1<√2/√(n-1)

lim(n→+∞)√2/√(n-1)=0

由數列極限的迫斂性得

lim(n→+∞)(n^(1/n)-1)=0

即

lim(n→+∞)n^(1/n)=1。