等價向量組怎麼計算

向量組等價的基本判定是：兩個向量組可以互相線性表示。

需要重點強調的是：等價的向量組的秩相等，但是秩相等的向量組不一定等價。

向量組A：a1，a2，…am與向量組B：β1，β2，…βn的等價秩相等條件是

R（A）=R（B）=R（A，B）

其中A和B是向量組A和B所構成的矩陣

中文名

等價向量組

外文名

Equivalent vectors

基本定義

向量組A：a1，a2，…am與向量組B：β1，β2，…βn的等價秩相等條件是

R（A）=R（B）=R（A，B）

其中A和B是向量組A和B所構成的矩陣。

（注意區分粗體字與普通字母所表示的不同意義）

或者說：兩個向量組可以互相線性表示，則稱這兩個向量組等價。

注：

1、等價向量組具有傳遞性、對稱性及反身性。但向量個數可以不一樣，線性相關性也可以不一樣。

2、任一向量組和它的極大無關組等價。

3、向量組的任意兩個極大無關組等價。

4、兩個等價的線性無關的向量組所含向量的個數相同。

5、等價的向量組具有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價。

數學例項

設有兩個向量組

（Ⅰ）：α1，α2，……，αm

（Ⅱ）：β1，β2，……，βm

如果（Ⅰ）中每個向量都可以由向量組（Ⅱ）線性表示，則稱（Ⅰ）可由（Ⅱ）線性表示如果（Ⅰ）與（Ⅱ）可以相互線性表示，則稱（Ⅰ）與（Ⅱ）等價，記為（Ⅰ）≌（Ⅱ）。

例如：若β1=α1+α2，β2=α1-2α2，β3=α1，則向量組（Ⅰ）={α1，α2}與向量組（Ⅱ）={β1，β2，β3}等價。事實上，給定的條件已表明（Ⅱ）可由（Ⅰ）線性表示，又容易得到

3，這表明（Ⅰ）也可以由（Ⅱ）線性表示，由定義即知（Ⅰ）與（Ⅱ）等價。

兩個向量組等價就是能互相線性表示.向量組等價有相同的秩.A = (α1，α2，α3 ) =[1 1 1][1 2 3][1 3 6]行初等變換為[1 1 1][0 1 2][0 2 5]行初等變換為[1 1 1][0 1 2][0 0 1]r(α1，α2，α3)=3.B = (β1，β2，β3 ) =[1 a 3][2 2 4][-3 1 2]行初等變換為[2 2 4][-3 1 2][1 a 3]行初等變換為[1 1 2][0 4 8][0 a-1 1]行初等變換為[1 1 2][0 1 2][0 0 3-2a]r(β1，β2，β3 )=3，則 a≠3/2.