怎樣判斷正交矩陣的行列式值是1
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設λ是正交矩陣A的特徵值,x是A的屬於特徵值λ的特徵向量
即有 Ax = λx,且 x≠0。
兩邊取轉置,得 x^TA^T = λx^T
所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx
因為A是正交矩陣,所以 A^TA=E
所以 x^Tx = λ^2x^Tx
由 x≠0 知 x^Tx 是一個非零的數
故 λ^2=1
所以 λ=1或-1
正交矩陣畢竟是從內積自然引出的,所以對於複數的矩陣這導致了歸一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣(即該正交矩陣中所有元都是實數)可以看做是一種特殊的酉矩陣,但也存在一種復正交矩陣,這種復正交矩陣不是酉矩陣。