调和级数发散的几种证明方法

一、方法一

直接从这个结果出发：

S2n-Sn>=1/2

对于任意n成立

则把n变成2n

S4n-S2n>=1/2成立

以次类推S8n-S4n>=1/2

S 下标2^k n -S下标2^(k-1)n >=1/2

把这些统统相加

S 下标2^k n >=k/2

再令k->无穷，即2^k n->无穷，则S无穷=无穷

二、方法二

  利用极限收敛定义：

若一个数列极限存在，则其必为柯西数列

柯西数列An表示对于任意m>n

有|Am-An|->0，当m，n->无穷

此处显然永远有m=2n时，|Sm-Sn|>=1/2与Cauchy数列定义矛盾，所以发散