等軸雙曲線上一點到原點的距離

代數解法:

設等軸雙曲線x^2/a^2-y^2/a^2=1

即x^2-y^2=a^2①

焦點F1(√2a，0) F2(-√2a，0)

設M(x，y)

一點M到座標原點的距離為2

即√(x^2+y^2)=2

x^2+y^2=4②

①+②得2x^2=a^2+4

點M到兩焦點的距離之積

為√[(x+√2a)^2+y^2]*√[(x-√2a)^2+y^2]

=√[(x^2+y^2+2√2ax+2a^2]*√[(x^2+y^2-2√2ax+2a^2]

=√(4+2a^2+2√2ax)*√(4+2a^2-2√2ax)

=√[(4+2a^2)^2-8a^2x^2]

=√[(4+2a^2)^2-4a^2(a^2+4)]

=√16

=4

幾何解法:

設等軸雙曲線x^2/a^2-y^2/a^2=1

焦點F1(√2a，0) F2(-√2a，0)

記|MF1|=m |MF2|=n ∠MOF1=θ

ΔMF1O中 由余弦定理

|MO|^2+|F10|^2-2*|MO|*|F10|*cosθ=|MF1|^2

即4+|F10|^2-4*|F10|*cosθ=m^2①

ΔMF2O中 由余弦定理

|MO|^2+|MF2|^2-2*|MO|*|MF1|*cos(π-θ)=|F20|^2

即4+|F20|^2+4*|F20|*cosθ=n^2②

由O是F1F2中點

則|F10|=|F20|=√2a

①+②得m^2+n^2=8+4a^2

由雙曲線定義|m-n|=2a

m^2+n^2-2mn=4a^2

8+4a^2-2mn=4a^2

mn=4