08江蘇高考數學試卷及答案

絕密★啟用前2008年普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）數 學本試卷分第I卷（填空題）和第II卷（解答題）兩部分．考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效．考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回．注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、准考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上的准考證號、姓名，並將條形碼粘貼在指定位置上．2.選擇題答案使用2B鉛筆填塗，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案標號非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或炭素筆書寫，字體工整，筆跡清楚．3.請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內作答，超出答題區域書寫的答案無效．4.保持卡面清潔，不折疊，不破損．5.作選考題時，考生按照題目要求作答，並用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號塗黑．參考公式:樣本數據 ， ， ， 的標準差 其中 為樣本平均數柱體體積公式 其中 為底面積， 為高一、填空題：本大題共1小題，每小題5分，共70分．1. 的最小正週期為 ，其中 ，則 = ▲ ．本小題考查三角函數的週期公式. 102．一個骰子連續投2 次，點數和為4 的概率 ▲ ．本小題考查古典概型．基本事件共6×6 個，點數和為4 的有(1，3)、(2，2)、(3，1)共3 個，故 3. 表示為 ，則 = ▲ ．本小題考查複數的除法運算．∵ ，∴ ＝0， ＝1，因此 14.A= ，則A Z 的元素的個數 ▲ ．本小題考查集合的運算和解一元二次不等式．由 得 ，∵Δ＜0，∴集合A 為 ，因此A Z 的元素不存在．05. ， 的夾角為 ， ， 則 ▲ ．本小題考查向量的線性運算． = ， 776.在平面直角座標系 中，設D是橫座標與縱座標的絕對值均不大於2 的點構成的區域， E是到原點的距離不大於1 的點構成的區域，向D 中隨機投一點，則落入E 中的概率 ▲ ．本小題考查古典概型．如圖：區域D 表示邊長為4 的正方形的內部（含邊界），區域E 表示單位圓及其內部，因此． 7.算法與統計的題目8.直線 是曲線 的一條切線，則實數b＝ ▲ ．本小題考查導數的幾何意義、切線的求法． ，令 得 ，故切點（2，ln2），代入直線方程，得，所以b＝ln2－1．ln2－19在平面直角座標系中，設三角形ABC 的頂點分別為A(0，a)，B(b，0)，C (c，0) ，點P（0，p）在線段AO 上（異於端點），設a，b，c， p 均為非零實數，直線BP，CP 分別交AC ， AB 於點E ，F ，一同學已正確算的OE的方程： ，請你求OF的方程： （ ▲ ） .本小題考查直線方程的求法．畫草圖，由對稱性可猜想填 ．事實上，由截距式可得直線AB： ，直線CP： ，兩式相減得 ，顯然直線AB與CP 的交點F 滿足此方程，又原點O 也滿足此方程，故為所求直線OF 的方程． 10．將全體正整數排成一個三角形數陣：12 34 5 67 8 9 10． ． ． ． ． ． ． 按照以上排列的規律，第n 行（n ≥3）從左向右的第3 個數為 ▲ ．本小題考查歸納推理和等差數列求和公式．前n－1 行共有正整數1＋2＋…＋（n－1）個，即 個，因此第n 行第3 個數是全體正整數中第 ＋3個，即為 ． 11.已知 ， ，則 的最小值 ▲ ．本小題考查二元基本不等式的運用．由 得 ，代入 得 ，若且唯若 ＝3 時取“＝”．312.在平面直角座標系中，橢圓 1( 0)的焦距為2，以O為圓心， 為半徑的圓，過點 作圓的兩切線互相垂直，則離心率 = ▲ ． ? ?設切線PA、PB 互相垂直，又半徑OA 垂直於PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故 ，解得 ． 13．若AB=2， AC= BC ，則 的最大值 ▲ ． ?本小題考查三角形面積公式、餘弦定理以及函數思想．設BC＝ ，則AC＝ ，根據面積公式得 = ，根據餘弦定理得 ，代入上式得 = 由三角形三邊關係有 解得 ，故當 時取得 最大值 14. 對於 總有 ≥0 成立，則 = ▲ ．本小題考查函數單調性的綜合運用．若x＝0，則不論 取何值， ≥0顯然成立當x＞0 即 時， ≥0可化為， 設 ，則 ， 所以 在區間 上單調遞增，在區間 上單調遞減，因此 ，從而 ≥4當x＜0 即 時， ≥0可化為 ， 在區間 上單調遞增，因此 ，從而 ≤4，綜上 ＝44二、解答題：解答應寫出文字説明，證明過程或演算步驟．15．如圖，在平面直角座標系 中，以 軸為始邊做兩個鋭角 ， ，它們的終邊分別與單位圓相交於A，B 兩點，已知A，B 的橫座標分別為 ．（Ⅰ）求tan( )的值（Ⅱ）求 的值．本小題考查三角函數的定義、兩角和的正切、二倍角的正切公式．由條件的 ，因為 ， 為鋭角，所以 = 因此 （Ⅰ）tan( )= （Ⅱ） ，所以 ∵ 為鋭角，∴ ，∴ = 16．在四面體ABCD 中，CB= CD， AD⊥BD，且E ，F分別是AB，BD 的中點，求證：（Ⅰ）直線EF ‖面ACD （Ⅱ）面EFC⊥面BCD ．本小題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關係的判定．（Ⅰ）∵ E，F 分別是AB，BD 的中點，∴EF 是△ABD 的中位線，∴EF‖AD，∵EF 面ACD ，AD 面ACD ，∴直線EF‖面ACD ．（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF‖AD，∴ EF⊥BD.∵CB=CD， F 是BD的中點，∴CF⊥BD.又EF CF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD 面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．17．某地有三家工廠，分別位於矩形ABCD 的頂點A，B 及CD的中點P 處，已知AB=20km，CB =10km ，為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD 的區域上（含邊界），且A，B 與等距離的一點O 處建造一個污水處理廠，並鋪設排污管道AO，BO，OP ，設排污管道的總長為 km．（Ⅰ）按下列要求寫出函數關係式：①設∠BAO= (rad)，將 表示成 的函數關係式②設OP (km) ，將 表示成x 的函數關係式．（Ⅱ）請你選用（Ⅰ）中的一個函數關係式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短．本小題主要考查函數最值的應用．（Ⅰ）①由條件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO= (rad) ，則 ， 故 ，又OP＝ 10－10ta ，所以 ， 所求函數關係式為 ②若OP= (km) ，則OQ＝10－ ，所以OA =OB= 所求函數關係式為 （Ⅱ）選擇函數模型①， 令 0 得sin ，因為 ，所以 = ，當 時， ， 是 的減函數當 時， ， 是 的增函數，所以當 = 時， 。這時點P 位於線段AB 的中垂線上，且距離AB 邊 km處。18．設平面直角座標系 中，設二次函數 的圖象與兩座標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C．求：（Ⅰ）求實數b 的取值範圍（Ⅱ）求圓C 的方程（Ⅲ）問圓C 是否經過某定點（其座標與b 無關）請證明你的結論．本小題主要考查二次函數圖象與性質、圓的方程的求法．（Ⅰ）令 ＝0，得拋物線與 軸交點是（0，b）令 ，由題意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．（Ⅱ）設所求圓的一般方程為 令 ＝0 得 這與 ＝0 是同一個方程，故D＝2，F＝ ．令 ＝0 得 ＝0，此方程有一個根為b，代入得出E＝�Db�D1．所以圓C 的方程為 .（Ⅲ）圓C 必過定點（0，1）和（－2，1）．證明如下：將（0，1）代入圓C 的方程，得左邊＝0 ＋1 ＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右邊＝0，所以圓C 必過定點（0，1）．同理可證圓C 必過定點（－2，1）．19.（Ⅰ）設 是各項均不為零的等差數列（ ），且公差 ，若將此數列刪去某一項得到的數列（按原來的順序）是等比數列：①當n =4時，求 的數值②求 的所有可能值（Ⅱ）求證：對於一個給定的正整數n(n≥4)，存在一個各項及公差都不為零的等差數列 ，其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數列．本小題主要考查等差數列與等比數列的綜合運用．（Ⅰ）①當n＝4 時， 中不可能刪去首項或末項，否則等差數列中連續三項成等比數列，則推出d＝0．若刪去 ，則有 即 化簡得 ＝0，因為 ≠0，所以 =4 若刪去 ，則有 ，即 ，故得 =1．綜上 =1或－4．②當n＝5 時， 中同樣不可能刪去首項或末項．若刪去 ，則有 ＝ ，即 ．故得 =6 若刪去 ，則 ＝ ，即 ．化簡得3 ＝0，因為d≠0，所以也不能刪去 若刪去 ，則有 ＝ ，即 ．故得 = 2 ．當n≥6 時，不存在這樣的等差數列．事實上，在數列 ， ， ，…， ， ， 中，由於不能刪去首項或末項，若刪去 ，則必有 ＝ ，這與d≠0 矛盾同樣若刪去 也有 ＝ ，這與d≠0 矛盾若刪去 ，…， 中任意一個，則必有 ＝ ，這與d≠0 矛盾．綜上所述，n∈．（Ⅱ）略20.若 ， ， 為常數，且 （Ⅰ）求 對所有實數成立的充要條件（用 表示）（Ⅱ）設 為兩實數， 且 ，若 求證： 在區間 上的單調增區間的長度和為 （閉區間 的長度定義為 ）．本小題考查充要條件、指數函數與絕對值函數、不等式的綜合運用．（Ⅰ） 恆成立 （*）因為 所以，故只需 （*）恆成立綜上所述， 對所有實數成立的充要條件是： （Ⅱ）1°如果 ，則的圖象關於直線 對稱．因為 ，所以區間 關於直線 對稱．因為減區間為 ，增區間為 ，所以單調增區間的長度和為 2°如果 .（1）當 時. ， 當 ， 因為 ，所以 ，故 = 當 ， 因為 ，所以 故 = 因為 ，所以 ，所以 即 當 時，令 ，則 ，所以 ，當 時， ，所以 = 時， ，所以 = 在區間 上的單調增區間的長度和 = （2）當 時. ， 當 ， 因為 ，所以 ，故 = 當 ， 因為 ，所以 故 = 因為 ，所以 ，所以 當 時，令 ，則 ，所以 ，當 時， ，所以 = 時， ，所以 = 在區間 上的單調增區間的長度和 = 綜上得 在區間 上的單調增區間的長度和為