赫爾德不等式滿足的條件

赫爾德不等式有許多證明，主要的想法是楊氏不等式。

如果||f||p= 0，那麼f在μ-幾乎處處為零，且乘積fg在μ-幾乎處處為零，因此赫爾德不等式的左端為零。如果||g||q=0也是這樣。因此，我們可以假設||f||p>0且||g||q>0。

如果||f||p= ∞或||g||q=∞，那麼不等式的右端為無窮大。因此，我們可以假設||f||p和||g||q位於(0，∞)內。

如果p= ∞且q= 1，那麼幾乎處處有|fg| ≤ ||f||∞|g|，不等式就可以從勒貝格積分的單調性推出。對於p=1和q=∞，情況也類似。因此，我們還可以假設p，q∈ (1，∞)。

分別用f和g除||f||p||g||q，我們可以假設：

我們現在使用楊氏不等式：

對於所有非負的a和b，若且唯若時 等式成立。

因此：

兩邊積分，得：.

這便證明了赫爾德不等式。

在p∈ (1，∞)和||f||p= ||g||q= 1的假設下，等式成立若且唯若幾乎處處有 。更一般地，如果||f||p和||g||q位於(0，∞)內，那麼赫爾德不等式變為等式，若且唯若存在α，β>0（即α= ||g||q且β= ||f||p），使得： μ-幾乎處處(*)

||f||p= 0的情況對應於(*)中的β=0。||g||q=的情況對應於(*)中的α=0。