材料力學的三大方程

一、本構方程：

彈性杆在受到拉力（壓力）的作用，會產生伸長或者壓縮，與彈簧類似。

彈簧遵循胡可定律，有：

F=K

[公式]

對應的，對於彈性杆，我們有相似的關係：

[公式]

其中， [公式] 為軸力， [公式] 為拉伸剛度， [公式] 為變形。

對於他的彎曲，我們有：

[公式]

其中， [公式] 為彎矩， [公式] 為彎曲剛度， [公式] 為曲率。

則，以上構建了1D理論中的拉伸本構關係，以及彎曲本構關係。

二、平衡關係：

通過平面力系的平衡條件，我們可以得到，單元體的平衡，需要滿足軸向受力平衡，橫向受力平衡，以及力矩平衡，其方程分別為：

軸向力平衡： [公式]

橫向力平衡： [公式]

力矩平衡： [公式]

由此，結合方程2與方程3，可以得到：

[公式]

三、幾何方程：

對於拉伸，我們可以另軸向位移梯度來表徵拉伸變形：

[公式]

對於彎曲，我們可以使用數學上的曲線曲率（的線性部分）來表徵彎曲：

[公式]

1、 連續性方程——依據質量守恆定律推導得出。

2、 能量方程（又稱伯努利方程）——依據能量守恆定律推導得出。

3、 動量方程——依據動量守恆定律（牛頓第二定律）推導得出的。