一階線性遞推公式

一階線性遞推數列主要有如下幾種形式：

1、

這類遞推數列可通過累加法而求得其通項公式(數列{f(n)}可求前n項和).

當為常數時，通過累加法可求得等差數列的通項公式．而當為等差數列時，則為二階等差數列，其通項公式應當為形式，注意與等差數列求和公式一般形式的區別，後者是，其常數項一定為0．

2、

這類遞推數列可通過累乘法而求得其通項公式(數列{g(n)}可求前n項積).

當為常數時，用累乘法可求得等比數列的通項公式．

3、

這類數列通常可轉化為，或消去常數轉化為二階遞推式.

例1已知數列中，，求的通項公式．

解析：解法一：轉化為型遞推數列．

∵∴又，故數列｛｝是首項為2，公比為2的等比數列．∴，即．

解法二：轉化為型遞推數列．

∵=2xn-1+1(n≥2)①∴=2xn+1②

②－①，得(n≥2)，故｛｝是首項為x2-x1=2，公比為2的等比數列，即，再用累加法得．

解法三：用迭代法．

當然，此題也可用歸納猜想法求之，但要用數學歸納法證明．

例2已知函數的反函數為

求數列的通項公式.

解析：由已知得，則．

令=，則.比較係數，得.

即有．∴數列｛｝是以為首項，為公比的等比數列，∴，故．

評析：此題亦可採用歸納猜想得出通項公式，而後用數學歸納法證明之．

（4）

若取倒數，得，令，從而轉化為（1）型而求之.

（5）

這類數列可變換成，令，則轉化為(1)型一階線性遞推公式.

例3設數列求數列的通項公式．

解析：∵，兩邊同除以，得．令，則有．於是，得，∴數列是以首項為，公比為的等比數列，故，即，從而．

例4設求數列的通項公式．

解析：設用代入，可解出．

∴是以公比為-2，首項為的等比數列．

∴

即．

（6）

這類數列可取對數得，從而轉化為等差數列型遞推數列.

二、可轉化為等差、等比數列或一些特殊數列的二階遞推數列

例5設數列求數列的通項公式．

解析：由可得

設

故即用累加法得

或

例6在數列求數列的通項公式．

解析：可用換元法將其轉化為一階線性遞推數列．

令使數列是以 為公比的等比數列(待定)．

即∴對照已給遞推式， 有即的兩個實根．

從而

∴①

或②

由式①得由式②得．

消去．

例7在數列求．

解析：由①，得②．

式②+式①，得，從而有．∴數列是以6為其週期．故==-1．

三、特殊的n階遞推數列

例8已知數列滿足，求的通項公式．

解析：∵ ①

∴ ②

②－①，得．∴故有

將這幾個式子累乘，得

又

例9數列｛｝滿足，求數列｛｝的同項公式．

解析：由 ①，得 ②．

式①－式②，得，或，故有.

∴，.

將上面幾個式子累乘，得，即．

∵也滿足上式，∴