二階導數公式推導過程

設x = f(t) 且 y = g(t)

理解為在一階導數的基礎上，對x再次求導。個人理解：d(dy/dx)/dx整體可以看作先對t求導，再令t對x求導而括號中的dy/dx則是g’(t)/f’(t)得出第一個等號後的式子。之後在算乘號左側的部分時，視為對t的求導，且是除法形式的求導：

子導母不導-子不導母導 ------------------------------ 分母的平方 123123

(以上三行假裝是分數形式……)之後的部分就很好理解，按部就班即可

最終結論公式

=d(dy)/dx*dx=d²y/dx²

dy是微元，書上的定義dy=f'(x)dx，因此dy/dx就是f'(x)，即y的一階導數。

dy/dx也就是y對x求導，得到的一階導數，可以把它看做一個新的函數。

d(dy/dx)/dx，就是這個新的函數對x求導，也即y的一階導數對x求導，得到的就是二階導數。

函數凹凸性

設f(x)在[a，b]上連續，在（a，b)內具有一階和二階導數，那麼

（1）若在（a，b)內f''(x)>0，則f(x)在[a，b]上的圖形是凹的。

（2）若在（a，b)內f’‘(x)<0，則f(x)在[a，b]上的圖形是凸的

推導步驟如下：y=f(x)要求d^2x/dy^2dx/dy=1/(dy/dx)=1/y'd^2x/dy^2=d(dx/dy)/dx*dx/dy=-y''/y'^2*1/y'=-y''/y'^3拓展資料：反函數的導函數：在這裏要説明的是，y=f(x)的反函數應該是x=f-1(y)。

只不過在通常的情況下，我們將x寫作y，y寫作x，以符合習慣。所以，雖然反函數和直接函數不互為倒數，但是各自導函數求出後，二者卻是互為倒數。