逆矩陣和矩陣的逆有什麼區別

一、線性代數中的矩陣的轉置和矩陣的逆矩陣有2點不同：

1、兩者的含義不同：

（1）矩陣轉置的含義：將A的所有元素繞着一條從第1行第1列元素出發的右下方45度的射線作鏡面反轉，即得到A的轉置。一個矩陣M， 把它的第一行變成第一列，第二行變成第二列等，最末一行變為最末一列， 從而得到一個新的矩陣N。 這一過程稱為矩陣的轉置。即矩陣A的行和列對應互換。

（2）逆矩陣的含義：一個n階方陣A稱為可逆的，或非奇異的，如果存在一個n階方陣B，使得AB=BA=E，則稱B是A的一個逆矩陣。A的逆矩陣記作A-1。

2、兩者的基本性質不同：

（1）矩陣轉置的基本性質：(A±B)T=AT±BT(A×B)T= BT×AT(AT)T=A(KA)T=KA。

（2）逆矩陣的基本性質：可逆矩陣一定是方陣。如果矩陣A是可逆的，其逆矩陣是唯一的。A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作（A-1）-1=A。可逆矩陣A的轉置矩陣AT也可逆，並且（AT）-1=（A-1）T (轉置的逆等於逆的轉置）。

二、矩陣的轉置和逆矩陣之間的聯繫：矩陣的轉置和逆矩陣是兩個完全不同的概念。轉置是行變成列列變成行，沒有本質的變換，逆矩陣是和矩陣的轉置相乘以後成為單位矩陣的矩陣。

擴展資料：

一、逆矩陣的其它性質：

1、若矩陣A可逆，則矩陣A滿足消去律。即AB=O（或BA=O），則B=O，AB=AC（或BA=CA），則B=C。

2、兩個可逆矩陣的乘積依然可逆。

3、矩陣可逆若且唯若它是滿秩矩陣。

二、逆矩陣性質的證明：

1、逆矩陣是對方陣定義的，因此逆矩陣一定是方陣。設B與C都為A的逆矩陣，則有B=C。

2、假設B和C均是A的逆矩陣，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩陣的任意兩個逆矩陣相等。

3、由逆矩陣的唯一性，A-1的逆矩陣可寫作（A-1）-1和A，因此相等。

4、矩陣A可逆，有AA-1=I 。（A-1）TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I由可逆矩陣的定義可知，AT可逆，其逆矩陣為（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩陣，由逆矩陣的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。

5、在AB=O兩端同時左乘A-1（BA=O同理可證），得A-1（AB）=A-1O=O，而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O。

6、由AB=AC（BA=CA同理可證），AB-AC=A(B-C)=O，等式兩邊同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。得B-C=O，即B=C。