方陣A可逆的充分必要條件是什麼

一個n階方陣A可逆的充分必要條件是|A|≠0，等價於A是非奇異方陣，等價於A是滿秩矩陣。充分必要條件也即充要條件，如果能從命題p推出命題q，也能從命題q推出命題p，則是充分必要條件。

數aij位於矩陣A的第i行第j列，稱為矩陣A的(i，j)元，以數 aij為(i，j)元的矩陣可記為(aij)或(aij)m × n，m×n矩陣A也記作Amn。

元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是複數的矩陣稱為復矩陣。而行數與列數都等於n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣。

矩陣分解是將一個矩陣分解為比較簡單的或具有某種特性的若干矩陣的和或乘積 ，矩陣的分解法一般有三角分解、譜分解、奇異值分解、滿秩分解等。

方陣A可逆的充分必要條件有以下：

①|A|≠0。並且當A可逆時，有A^-1=A*/|A|。（A*是A的伴隨矩陣，A^-1是A的逆矩陣）

②對於n階矩陣A，存在n階矩陣B，使AB=E（或BA=E），並且當A可逆時，B=A^-1。

③A可以經過有限次初等變化為單位矩陣。

④A可以表示為有限個初等矩陣的乘積。

⑤A可以只經過初等行變換化為單位矩陣E。

在線性代數中，給定一個 n 階方陣 A，若存在一 n 階方陣 B 使得 AB = BA = In，其中 In 為 n 階單位矩陣，則稱 A 是可逆的，且 B 是 A 的逆陣，記作 A 。 若方陣 A 的逆陣存在，則稱 A 為非奇異方陣或可逆方陣。 給定一個 n 階方陣 A，則下面的敍述都是等價的： A 是可逆的、A 的行列式不為零、A 的秩等於 n（A 滿秩）、A 的轉置矩陣 A也是可逆的、AA 也是可逆的、存在一 n 階方陣 B 使得 AB = In、存在一 n 階方陣 B 使得 BA = In。 A是可逆矩陣的充分必要條件是︱A︱≠0（方陣A的行列式不等於0）。