三角函數求值十大題型
在Rt△ABC中,∠C=90°,則有
正弦:sinA=a/c(對邊/斜邊)
餘弦:cosA=b/c(鄰邊/斜邊)
正切:tanA=a/b(對邊/斜邊)
餘切:cotA=b/A(鄰邊/對邊)
鋭角A的正弦、餘弦、正切、餘切都叫做∠A的鋭角三角函數。
2特殊角的三角函數值
sin0=0°,sin30°=1/2,sin45°=√2/2
sin60°=√3/2,sin90°=1
cos0°=1,cos30°=√3/2,cos45°=√2/2
cos60°=1/2,cos90°=0
tan0°=0,tan30°=√3/3
tan45°=1,tan60°=√3,tan90°不存在
cot0°不存在,cot30°=√3,cot45°=1
cot60°=√3/3,cot90°=0。
3、互為餘角的三角函數之間的關係
若0°≤a≤90°,則有
sina=cos(90°一a),cosa=sin(90°一a)
tana=cot(90一a°),cota=tan(90一a°)
4、同一鋭角的三角函數之間的關係
對於0°≤a≤90°,有
(sina)^2十(cosa)^2=1
tan=sina/cosa(a≠90°)
cota=cosa/sina(a≠0°)
tanacota=1(0°<a<90°)。
5、鋭角三角函數的單調性
正弦函數、正切函數,在0°≤x≤90°時,y隨x的增大而增大
餘弦函數、餘切函數,在0°≤x≤90°時,y隨x的增大而減小。
在三角函數求值過程中,往往會用到設比例係數法、構造法、配方法等重要數學方法。
二、例題解析
例1:在Rt△ABC中,∠C=90°,a=5k,c=13k(k>0),求cosA、tanA。
分析:三角函數值實際為兩邊的比值,要充分理解、掌握三角函數的定義。
解:在Rt△ABC中,∠C=90°
又a=5k,c=13k,所以b=12k(勾股定理)。
所以cosA=b/c=12k/(13k)=12/13
tanA=a/b=5k/(12k)=5/12。
例2:直接比較sin11°、cos77°、tan55°、
cot15°的大小。
解析:cos77°=sin(90°一77°)=sin13°
cot15°=tan(90°一15°)=tan75°。
對於鋭角a來説,sina、tana的值隨a的增大而增大,且sina<1,tan45°>1。
因為13°>11°,所以1>cos77°>sin11°
因為75°>55°>45°,所以cot15°>tan55°>1
所以cot15°>tan55°>cos77°>sin11°。
例3:等腰三角形的底邊長為6,面積為3√3,求頂角的度數。