調和級數發散的幾種證明方法
來源:魅力女性吧 1.27W
一、方法一
直接從這個結果出發:
S2n-Sn>=1/2
對於任意n成立
則把n變成2n
S4n-S2n>=1/2成立
以次類推S8n-S4n>=1/2
S 下標2^k n -S下標2^(k-1)n >=1/2
把這些統統相加
S 下標2^k n >=k/2
再令k->無窮,即2^k n->無窮,則S無窮=無窮
二、方法二
  利用極限收斂定義:
若一個數列極限存在,則其必為柯西數列
柯西數列An表示對於任意m>n
有|Am-An|->0,當m,n->無窮
此處顯然永遠有m=2n時,|Sm-Sn|>=1/2與Cauchy數列定義矛盾,所以發散