橢圓通徑最短3種證明方法
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一、幾何證明法:
過焦點F的弦AB長 = FA+FB = 離心率乘以(A到準線的距離+B到準線的距離)
= 2倍離心率·AB中點到準線的距離。
設AB中點為M,若FA ≥ FB,則F在線段BM上。
M到準線的距離 ≥ B到準線的距離,可知M到準線的距離 ≥ F到準線的距離。
而AB為通徑時,M到準線的距離 = F到準線的距離。
此時M到準線的距離取到最小值,於是AB長度也取得最小值。
二、代數方程法:
設出橢圓方程為x^2/a^+y^2/b^2=1
過焦點F(c,0)的直線方程為x=my+c(這裏不能設成y=k(x-c),因為通徑的斜率不存在)。
然後方程聯立,利用弦長公式可整理成關於m的函數式。
從中求出若且唯若m=0時,弦長最短