齊次線性微分方程的通解

解：∵齊次方程y"-6y'+9y=0的特徵方程是r^2-6r+9=0，則r=3（二重實根）

∴此齊次方程的通解是y=(c1x+c2)e^(3x)

(c1，c2是常數)

∵設原方程的解為y=(ax^3+bx^2)e^(3x)

代入原方程，得(6ax+2b)e^(3x)=(x+1)e^(3x)

==>6a=1，2b=1

==>a=1/6，b=1/2

∴y=(x^3/6+x^2/2)e^(3x)是原方程的一個解

故原方程的通解是y=(c1x+c2)e^(3x)+(x^3/6+x^2/2)e^(3x)，即y=(x^3/6+x^2/2+c1x+c2)e^(3x)。

解：∵齊次方程y"-6y'+9y=0的特徵方程是r^2-6r+9=0，則r=3（二重實根） ∴此齊次方程的通解是y=(c1x+c2)e^(3x) (c1，c2是常數) ∵設原方程的解為y=(ax^3+bx^2)e^(3x) 代入原方程，得(6ax+2b)e^(3x)=(x+1)e^(3x) ==>6a=1，2b=1 ==>a=1/6，b=1/2 ∴y=(x^3/6+x^2/2)e^(3x)是原方程的一個解 故原方程的通解是y=(c1x+c2)e^(3x)+(x^3/6+x^2/2)e^(3x)，即y=(x^3/6+x^2/2+c1x+c2)e^(3x)。

二階齊次、非齊次線性微分方程的解的特點與解的結構，你應該知道吧一階齊次、非齊次線性微分方程的解的特點與解的結構也是類似的.

解的特點：

一階齊次：兩個解的和還是解，一個解乘以一個常數還是解

一階非齊次：兩個解的差是齊次方程的解，非齊次方程的一個解加上齊次方程的一個解還是非齊次方程的解

通解的結構：

一階齊次：y＝Cy1，y1是齊次方程的一個非零解

一階非齊次：y＝y*＋Cy1，其中y*是非齊次方程的一個特解，y1是相應的齊次方程的一個非零特解

齊次線性微分方程的通解

齊次微分方程的通解公式是：y'=f（y/x），其中 f 是已知的連續方程。求解齊次微分方程的關鍵是作變換u=y/x，即y=ux ，它可以把方程轉換為關於u與x的可分離變量的方程，此時有y'=u+xu'，代入原方程即可得可分離變量的方程u+xu'=f（u） ，分離變量並積分即可得到結果，需要注意的是，最後應把 u=y/x代入，並作必要的變形。