三絃定理

由圓上一點引出三條弦，中間一弦與最大角正弦的積等於其餘每條弦與不相鄰角正弦的積之和

證明：連BD、CD， 由圓的相交弦定理→△ABP∽△CDP→AB/CD=AP/CP→AB·CP=CD·AP→

AB·CP－CD·AP=0→同理→AC·BP－BD·AP=0， 所以有AB(AB·CP－CD·AP)=0， AC(AC·BP－BD·AP)=0，兩式相加→AB·AB·CP + AC·AC·BP=AB·CD·AP +AC·BD·AP=AP(AB·CD+AC·BD)=AP·BC·AD⑴(托勒密定理)。

由AC外分∠BAP， 由“分角定理”→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC) ·(AB/AP)， →

(ABsin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC) ·(AB·AB/AP)⑵， 同理有， 由AB外分∠CAP， 由“分角定理”→

(ACsin∠BAP/ sin∠BAC)=(BP/BC) ·(AC·AC/AP)⑶， 由⑵+⑶→

(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP) / sin∠BAC=( AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP，由⑴→

( AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP=AD， 所以(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP) / sin∠BAC=AD， 所以

ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。證畢。

《三絃定理》內容是：由圓上一點引出三條弦，中間一弦與最大角正弦的積等於其餘每條弦與不相鄰角正弦的積之和。是托勒密定理的一種特殊形式，但他的逆定理證明遠比托勒密逆定理簡單，因此廣為流傳。