射影定理的證明

直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。 

公式 ，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下： （1）（AD）^2=BD·DC， （2）（AB）^2=BD·BC ， 

（3）（AC）^2=CD·BC 。 

證明：在 △BAD與△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=BD·DC。其餘類似可證。

注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB）^2+（AC）^2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）^2， 即 （AB）^2+（AC）^2=（BC）^2。