知道特解怎麼求原微分方程

解答

微分方程y''-3y'+2y=xex對應的齊次微分方程為y''-3y'+2y=0

特徵方程為t2-3t+2=0

解得t1=1，t2=2

故齊次微分方程對應的通解y＝C1ex+C2e2x

因此，微分方程y''-3y'+2y=xex對應的非齊次微分方程的特解可設為y*=x（ax+b）ex=（ax2+bx）ex

y*'=[ax2+（2a+b）x+b]ex

y*''=[ax2+（4a+b）x+（2a+2b）]ex

將y*，y*'，y*''代入微分方程y''-3y'+2y=xex消去ex即可得到：

[ax2+（4a+b）x+（2a+2b）]-3[ax2+（2a+b）x+b]+2（ax2+bx）=x

-2ax+2a-b=x

−2a＝1

2a+b＝0

a＝−

1

2

b＝1

所以，非齊次微分方程的特解為y*＝(−

1

2

x2+x)ex

由於非齊次微分方程的通解=齊次微分方程的通解+非齊次微分方程的特解

所以，微分方程y''-3y'+2y=xex的通解為y+y*＝(−

1

2

x2+x+C1)ex+C2e2x．