數字分佈定理

首位數定理，與其名稱相反，並非是一個嚴格的"定理"，而是一個在絕大部分自然數據集中都存在的經驗統計規律。這個規律由Newcomb S.於1881年首次發現，並由Benford F.於1938年再次獨立提出，所以也被稱為Benford定理。首位數定理是説，十進制中一個數字的首位數是d（d=1，2，..，9）的概率遵從如下的對數分佈，越大的數字出現的概率越低。

簡單地説，一堆從實際生活得出的數據中，以1為首位數字的數的出現概率約為總數的三成，接近直覺得出之期望值1/9的3倍。推廣來説，越大的數，以它為首幾位的數出現的概率就越低。它可用於檢查各種數據是否有造假。

首位數定理的"神祕"性在於，雖然絕大部分自然數據集符合首位數定理，人工偽造的數據集大部分卻不滿足首位數定理，似乎自然界存在某種特殊的數據生產過程。

為了研究小數的數字規律，引進等分佈的概念，它並不複雜，但卻引人入勝。

等分佈又名一致分佈(uniform distribution)。

若為中的一個點集，對於任意正整數n

及任意實數，命表示n個點落入區間[0，r)的點的個數，如果

則稱點集

在

中一致分佈。

外爾判別法：點集

在

中一致分佈的充要條件是

對於任意一個

中的黎曼可積函數

，都有：

外爾，德國數學家，給出了另外一個可行的判別法：

點集

在

中一致分佈的充要條件是，對於任意一個

整數h≠0，都有

上面的定義只是數學分析性質的，我們可以對其進行通俗的理解。

所謂的等分佈，顧名思義就是説數列

在

上“等可能”

分佈。