三個向量線性相關的條件

定理1 向量b能由向量組A：a1， a2， …， am 線性表示的充要條件是矩陣A=( a1， a2， …， am) 的秩等於矩陣B=(a1， a2， …， am， b)的秩。

定理2 向量組B：b1， b2， …， bl 能由向量組A：a1， a2， …， am 線性表示的充要條件是矩陣A=( a1， a2， …， am)的秩等於矩陣(A， B)=( a1， a2， …， am， b1， b2， …， bl)的秩，即R(A) = R(A， B)。

推論：向量組A：a1， a2， …， am 與向量組B：b1， b2， …， bl 等價的充要條件是R(A) = R(B) = R(A， B)。

定理3 設向量組B：b1， b2， …， bl 能由向量組A：a1， a2， …， am 線性表示，則R(A)≥ R(B)。

定理4 向量組A：a1， a2， …， am線性相關的充要條件是它所構成的矩陣A=( a1， a2， …， am) 的秩小於向量個數m向量組A線性無關的充要條件是R(A) = m。

定理5 (1) 若向量組A：a1，…，am線性相關，則向量組B：a1， …， am， am+1也線性相關。反之，若向量組B線性無關，則

向量組A也線性無關。是以|α1，α2，α3|為行向量組構成3階方陣A，所以向量組線性相關的充分必要條件是|A|=0。

|A|=-30a+30b+30c=-30(a-b-c)。

所以向量組線性相關的充分必要條件是a-b-c=0。