三角形內切圓半徑什麼時候最大

由內角的度數及對邊的長，利用正弦定理求出三角形外接圓的半徑R，當三角形ABC為等邊三角形時，內切圓半徑最大，此時內切圓與外接圓圓心重合，設為O點，由等邊三角形的性質得到AO=2DO，由OA的長求出OD的長，即為三角形內切圓半徑的最大值． 由正弦定理得：2R=（R為外接圓半徑），即R=AO=，當△ABC為等邊三角形時，內切圓半徑最大，此時內切圓圓心與外接圓圓心重合，設為點O，∵AO=2DO，∴OD=AO=，則此三角形內切圓半徑的最大值是．故答案為： 此題考查了正弦定理，以及等邊三角形的性質，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵

周長一定的三角形在三角形為等邊三角形時內切圓半徑最大。要使內切圓半徑最大，就要內切圓面積最大，那麼三角形的面積也要最大。根據在周長一定時，三角形的面積在三角形為等邊三角形時面積最大這個定理就能得出上述結論（這個定理可用三角形面積公式中的海倫公式和基本不定式的推廣來證明）。