四次方程的求根公式

來源：魅力女性吧 6.75K

x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，四次方程求根公式是數學代數學基本公式，由意大利數學家費拉里首次提出證明。一元四次方程是未知數最高次數不超過四次的多項式方程，應用化四次為二次的方法，結合盛金公式求解。

適用未知數最高次項的次數不大於四的多項式方程。其解法是受一元三次方程求解方法的啟發而得到的。

二次方程ax²+bx+c=0，根據代數基本定理，可以設兩個解x1和x2，那就可以將之寫成(x-x1)(x-x2)=0，然後把它展開並對照係數便得到韋達定理

x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，然後利用這兩個式子以及二項展開式(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2，這樣就能得到

x1-x2=±√(b²-4ac)/a，再聯立x1+x2，就能得到二次方程求根公式

x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。

三次方程ax³+bx²+cx+d=0，因為a肯定不為零，所以乾脆就可以把方程寫成

y³+ay²+by+c=0

令y=x-a/3，帶入到方程式中就能消去二次項，這樣就能得到方程x³+py=q，如果把p和q放入到複平面，其實這個就是一般方程。

又知道和立方公式(m+n)³=m³+n³+3mn(m+n)，那麼令m+n=x，m³+n³=q，3mn=-p，這樣就能得到x³=q-px，然後設任意兩個數a，b使得x=a+b，這樣上式就變成a³+b³+3ab(a+b)+p(a+b)=q，即(p+3ab)(a+b)=q-(a³+b³)，令兩邊都為零，這樣

ab=-p/3，a³+b³=q，這樣再利用一次二項展開便能得到

a³-b³=±√(q²+4p³/27)，再聯立a³+b³就能得到

這裏根號裏面部分就是判別式Δ，這樣對a和b開三次根號並相加就能得到解。

一般四次方程 ax4+bx3+cx2+dx+e=0

每項除a，得到：

x4+(b/a)x3+(c/a)x2+(d/a)x+(e/a)=0

移項，得到：

x4+(b/a)x3=-(c/a)x2-(d/a)x-(e/a)

在等式兩端同時加上(bx/2a)2，進行配方。

(x^2+(bx)/(2a))^2=(b/(4a)-c)^2*x^2-dx-e

再在該式加上 (x^2+(bx)/(2a))*y+(y^2/4) (y是一個待定變量)

(x^2+bx/2+y/2)^2=(b^2/4a-c+y)*x^2+((by)/2-d)x+(y^2/4-e)