立體幾何證明方法總結

1、平行、垂直位置關係的論證的策略:

(1)由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證題思路。

(2)利用題設條件的性質適當添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一。

(3)三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時應優先考慮。

2、空間角的計算方法與技巧:

主要步驟：一作、二證、三算若用向量，那就是一證、二算。

(1)兩條異面直線所成的角①平移法：②補形法：③向量法：

(2)直線和平面所成的角

①作出直線和平面所成的角，關鍵是作垂線，找射影轉化到同一三角形中計算，或用向量計算。

②用公式計算.

(3)二面角

①平面角的作法：(i)定義法(ii)三垂線定理及其逆定理法(iii)垂面法。

②平面角的計算法：

(i)找到平面角，然後在三角形中計算(解三角形)或用向量計算(ii)射影面積法(iii)向量夾角公式.

3、空間距離的計算方法與技巧:

(1)求點到直線的距離：經常應用三垂線定理作出點到直線的垂線，然後在相關的三角形中求解，也可以藉助於面積相等求出點到直線的距離。

(2)求兩條異面直線間距離：一般先找出其公垂線，然後求其公垂線段的長。在不能直接作出公垂線的情況下，可轉化為線面距離求解(這種情況高考不做要求)。

(3)求點到平面的距離：一般找出(或作出)過此點與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質過該點作出平面的垂線，進而計算也可以利用“三稜錐體積法”直接求距離有時直接利用已知點求距離比較困難時，我們可以把點到平面的距離轉化為直線到平面的距離，從而“轉移”到另一點上去求“點到平面的距離”。求直線與平面的距離及平面與平面的距離一般均轉化為點到平面的距離來求解。

4、熟記一些常用的小結論，諸如：正四面體的體積公式是面積射影公式“立平斜關係式”最小角定理。弄清楚稜錐的頂點在底面的射影為底面的內心、外心、垂心的條件，這可能是快速解答某些問題的前提。

5、平面圖形的翻折、立體圖形的展開等一類問題，要注意翻折前、展開前後有關幾何元素的“不變性”與“不變量”。

6、與球有關的題型，只能應用“老方法”，求出球的半徑即可。

7、立體幾何讀題：

(1)弄清楚圖形是什麼幾何體，規則的、不規則的、組合體等。

(2)弄清楚幾何體結構特徵。面面、線面、線線之間有哪些關係(平行、垂直、相等)。

(3)重點留意有哪些面面垂直、線面垂直，線線平行、線面平行等。

一、線線平行的證明方法：

1、利用平行四邊形。

2、利用三角形或梯形的中位線。

3、如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線就和交線平行。(線面平行的性質定理)

4、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行。(面面平行的性質定理)

5、如果兩條直線垂直於同一個平面，那麼這兩條直線平行。(線面垂直的性質定理)

6、平行於同一條直線的兩條直線平行。

7、夾在兩個平行平面之間的平行線段相等。(需證明)

二、線面平行的證明方法：

1、定義法:直線與平面沒有公共點。

2、如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行

那麼這條直線和這個平面平行。( 線面平行的判定定理)

3、兩個平面平行，其中一個平面內的任何一條直線必平行於另一個平面。

4、反證法。

三、面面平行的證明方法：

1、定義法:兩平面沒有公共點。

2、如果一個平面內有兩條相交直線都平行於另-一個平面

那麼這兩個平面平行。(面面平行的判定定理)

3、平行於同一平面的兩個平面平行。

4、經過平面外-一點，有且只有一個平面和已知平面平行。

5、垂直於同一直線的兩個平面平行。

四、線線垂直的證明方法：

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形對角線。

4、圓所對的圓周角是直角。

5、點在線上的射影。

6、如果一條直線和一個平面垂直，那麼這條直線就和這個

平面內任意的直線都垂直。

7、在平面內的一-條直線，如果和這個平面--條斜線的射影

垂直，那麼它也和這條斜線垂直。(三垂線定理， 需證明)

8、在平面內的一條直線，如果和這個平面一-條斜線垂直，那

麼它也和這條斜線的射影垂直。(三垂線逆定理， 需證明)

9、如果兩條平行線中的一條垂直於一條直線，則另一條也垂直於這條直線。

五、線面垂直的證明方法：

1、定義法:直線與平面內任意直線都垂直.2、點在面內的射影。

3、如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那麼這條直線垂直於這個平面。( 線面垂直的判定定理)

4、如果兩個平面互相垂直，那麼在一個平面內垂直於它們交線的直線垂直於另一個平面。( 面面垂直的性質定理)

5、兩條平行直線中的一條垂直於平面，則另- -條也垂直於這個平面。

6、一條直線垂直於兩平行平面中的-一個平面，則必垂直於另一個平面。

7、兩相交平面同時垂直於第三個平面，那麼兩平面交線垂直於第三個平面。

8、過一點，有且只有一條直線與已知平面垂直。

9、過一點，有且只有一個平面與已知直線垂直。

六、面面垂直的證明方法：

1、定義法:兩個平面的二面角是直二面角。

2、如果一個平面經過另一個平面的- -條垂線，那麼這兩個平面互相垂直。( 面面垂直的判定定理)

3、如果一個平面與另一個平面的垂線平行，那麼這兩個平面互相垂直。

4、如果一個平面與另一個平面的垂面平行，那麼這兩個平面互相垂直。