為什麼偏導數是法向量

偏導數是法向量因為在曲面上任一點M取一條曲線，對曲面求偏導，即對這條曲線求切向量，再在M點取另一條曲線，同樣求出切向量，這些切向量必在同一平面內，即切平面，而切平面必存在一個法向量，這個法向量必與切向量垂直，同時也是曲面方程求偏導的結果。

參數方程的變量是t，此時你對參數方程求導時相當於得到了x、y、z的各個增量，這個增量的方向和你的曲線的方向是一致的。返回曲面方程。這個方程是F（x，y，z）=0。明白了嗎。這個x、y、z，彼此關聯的每一個都是一個自變量，那麼你對它們的求導也不是它們自己量的增加，而是在幾何空間中對圖像時來説，你不求出的偏微分構成的向量和這個曲面相切，曲線的參數方程式中加入的是關於x、y、z的t量的增加與該曲線一定相切。

這樣的話可能很難理解，所以試着寫一下注意事項吧。最簡單的平面F（x，y，z）=x+y=0。現在，如果你畫這樣的圖表，你會發現法線是（1，1，0），正好是（Fx'，Fy'，Fz'）。簡而言之，即使將曲面的某個點的座標乘以通過該點的切平面上的任意直線的向量也為0。

當三維中的空間曲面退化為二維時，成為平面曲線。偏微分系數表示平面的法向量。例如對於平面曲線c:F(x，y)=0，向量N=(Fx，Fy)是它法向量∵任意參數曲線a(t)=(x(t)，y(t))，它的切向量是T=a'(t)=(x'(t)，y'(t))假設a(t)的軌跡和c重合，那麼有F(a(t))=0，兩邊對t求導，就得到Fxx'+Fyy'=0，這就是N和T的內積為0，也就是N和T垂直。∴N是法向量。