費馬大定理如何證明

證明費馬大定理（證明過程詳解）

已知：a^2+b^2=c^2

令c=b+k，k=1.2.3……，則a^2+b^2=(b+k)^2。

因為，整數c必然要比a與b都要大，而且至少要大於1，所以k=1.2.3……

設：a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)

則a^2+b^2=c^2就可以寫成d^n+h^n=p^n，n=1.2.3……

當n=1時，d+h=p，d、h與p可以是任意整數。

當n=2時，a=d，b=h，c=p，則d^2+h^2=p^2 => a^2+b^2=c^2。

當n≥3時，a^2=d^n，b^2=h^n，c^2=p^n。

因為，a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)要想保證d、h、p為整數，就必須保證a、b、c必須都是完全平方數。

∴a、b、c必須是整數的平方，才能使d、h、p在d^n+h^n=p^n公式中為整數。

假若d、h、p不能在公式中同時以整數的形式存在的話，則費馬大定理成立。

設a=mk，則b=k(m^2-1)/2。

令m=k，則a=m^2，b=m(m^2-1)/2，令m/2=(m^2-1)，則b=(m/2)^2，c=(m/2)^2+m。

則a^2+b^2=c^2 => m^4+(m/2)^4=[(m/2)^2+m]^2=>m^2(2m^2-m-2)=0，m1=0（捨去），m2=(1±√17)/4（非整數）。

此外，當m/2=(m^2-1)時，（也可以讓）b=(m^2-1)^2

則a^2+b^2=c^2 => m^4+(m^2-1)^4=[(m^2-1)^2+m]^2=> m(m^2-1)(2m^2-m-2)=0，m1=0，m2=±1，m3=(1±√17)/4。

驗證：當m=±1時，b=h^(n^2)=(m^2-1)^2=0即a^2=c^2。與題要求不符。

假若d、h、p可以以整數的形式出現，説明等式d^n+h^n=p^n成立，費馬大定理不成立。否則，d^n+h^n≠p^n不等式成立，費馬大定理成立。

費馬大定理證明過程：設：a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)則a^2+b^2=c^2就可以寫成d^n+h^n=p^n，n=1.2.3……當n=1時，d+h=p，d、h與p可以是任意整數。

1、若a，b，c都是大於0的不同整數，m是大於1的整數，如有a^m+b^m=c^m+d^m+e^m同方冪關係成立，則a，b，c，d，e增比後，同方冪關係仍成立.

證：在定理原式a^m+b^m=c^m+d^m+e^m中，取增比為n，n＞1

得到：（na）^m+（nb）^m=（nc）^m+（nd）^m+（ne）^m

原式化為：n^m（a^m+b^m）=n^m（c^m+d^m+e^m）

兩邊消掉n^m後得到原式.

所以，同方冪數和差式之間存在增比計算法則，增比後仍是同方冪數.

2、若a，b，c是不同整數且有a^m+b=c^m關係成立，其中b＞1，b不是a，c的同方冪數，當a，b，c同比增大後，b仍然不是a，c的同方冪數.

證：取定理原式a^m+b=c^m

取增比為n，n＞1，得到：（na）^m+n^mb=（nc）^m

原式化為：n^m（a^m+b）=n^mc^m

兩邊消掉n^m後得到原式.

由於b不能化為a，c的同方冪數，所以n^mb也不能化為a，c的同方冪數.

所以，同方冪數和差式間含有的不是同方冪數的數項在共同增比後，等式關係仍然成立.

其中的同方冪數數項在增比後仍然是同方冪數，不是同方冪數的數項在增比後仍然是非同方冪數.