函數中心對稱的知識點

如果一個函數圖像繞着某點p旋轉180度後與原圖像重合，就説這個函數中心對稱。最常見的是關於原點中心對稱。若f(-x)=-f(X)，就稱函數f(X)關於原點中心對稱，如y=ⅹ，y=1/x都是關於原點中心對稱的。

1、對稱性的概念

函數軸對稱：如果一個函數的圖像沿一條直線對摺，直線兩側的圖像能夠完全重合，則稱該函數具備對稱性中的軸對稱，該直線稱為該函數的對稱軸。

中心對稱：如果一個函數的圖像沿一個點旋轉180度，所得的圖像能與原函數圖像完全重合，則稱該函數具備對稱性中的中心對稱，該點稱為該函數的對稱中心。

2、常見函數的對稱性（所有函數自變量可取有意義的所有值）

常數函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸。

一次函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸。

二次函數：是軸對稱，不是中心對稱，其對稱軸方程為x=-b/(2a)。

反比例函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中原點為它的對稱中心，y=x與y=-x均為它的對稱軸。

指數函數：既不是軸對稱，也不是中心對稱。

對數函數：既不是軸對稱，也不是中心對稱。

冪函數：顯然冪函數中的奇函數是中心對稱，對稱中心是原點冪函數中的偶函數是軸對稱，對稱軸是y軸而其他的冪函數不具備對稱性。

正弦函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中（kπ，0）是它的對稱中心

x=kπ+π/2是它的對稱軸。

正弦型函數：正弦型函數y=Asin(ωx+φ)既是軸對稱又是中心對稱，只需從ωx+φ=kπ中解出x，就是它的對稱中心的橫座標，縱座標當然為零隻需從ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的對稱軸需要注意的是如果圖像向上向下平移，對稱軸不會改變，但對稱中心的縱座標會跟着變化。

餘弦函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中x=kπ是它的對稱軸，（kπ+π/2，0）是它的對稱中心。

正切函數：不是軸對稱，但是是中心對稱，其中（kπ/2，0）是它的對稱中心，容易犯錯誤的是可能有的同學會誤以為對稱中心只是（kπ，0）。

對號函數：對號函數y=x+a/x(其中a>0)因為是奇函數所以是中心對稱，原點是它的對稱中心。但容易犯錯誤的是同學們可能誤以為最值處是它的對稱軸，例如在處理函數y=x+1/x時誤以為會有f0.5)=f(1.5)，我在教學時總是問學生：你可看見過老師將“√”兩邊畫得一樣齊學生們立刻明白並記憶深刻。

三次函數：顯然三次函數中的奇函數是中心對稱，對稱中心是原點，而其他的三次函數是否具備對稱性得因題而異。

絕對值函數：這裏主要説的是y=f(│x│)和y=│f(x)│兩類。前者顯然是偶函數，它會關於y軸對稱後者是把x軸下方的圖像對稱到x軸的上方，是否仍然具備對稱性，這也沒有一定的結論，例如y=│lnx│就沒有對稱性，而y=│sinx│卻仍然是軸對稱。