雙曲線上到焦點距離最近的點

用第二定義.以焦點在x軸上的雙曲線的右支為例.

設P(x，y)是雙曲線x²/a²-y²/b²=1 (a>0，b>0)的右支上一點，F(c，0)為右焦點，x=a²/c為右準線

按雙曲線的第二定義，P到焦點的距離與到相應準線的距離之比等於離心率，從而

|PF|/|x-a²/c|=e，由於P在右支上，所以 x≥a ，從而

|PF|=e(x-a²/c)=ex-a

當x=a時，|PF|取到最小值為ea-a=c-a

從而，雙曲線上到焦點距離最近的點是雙曲線的頂點