向量ab垂直的座標運算公式

若向量a(x1，y1)與向量(x2，y2)垂直，則向量a乘以向量b等於0。實際上向量a=(x1i十y1j)，向量b=(x2i+y2j)(其中i，j是平面直角座標系中x軸和y軸上的單位向量，i^2=j^2=1，ij=0)。根據兩向量座標形式的乘法就有向量α乘以向量b等於x1ⅹ2+y1y2=O，這就兩個向量互相垂直的條件。

)

a、b是兩個向量，a=（a1，a2） b=（b1，b2）

a垂直b：a1b1+a2b2=0

證明：

①幾何角度：

向量A (x1，y1)，長度 L1 =√(x1²+y1²)

向量B (x2，y2)，長度 L2 =√(x2²+y2²)

（x1，y1）到(x2，y2)的距離：D=√[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²]

兩個向量垂直，根據勾股定理：L1² + L2² = D²

∴ (x1²+y1²) + (x2²+y2²) = (x1 - x2)² + (y1 - y2)²

∴ x1² + y1² + x2² + y2² = x1² -2x1x2 + x2² + y1² - 2y1y2 + y2²

∴ 0 = -2x1x2 - 2y1y2

∴ x1x2 + y1y2 = 0

②擴展到三維角度：

x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0

那麼向量(x1，y1，z1)和（x2，y2，z2）垂直

綜述，對任意維度的兩個向量L1，L2垂直的充分必要條件是：L1×L2=0 成立。

擴展資料

1、平面向量數乘公式

實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa。

當λ>0時，λa的方向和a的方向相同

當λ<0時，λa的方向和a的方向相反

當λ = 0時，λa=0。

用座標表示的情況下有：λAB=λ(x2-x1，y2-y1)=(λx2-λx1，λy2-λy1)

設λ、μ是實數，那麼滿足如下運算性質：

(λμ)a= λ(μa)

(λ + μ)a= λa+ μa

λ(a±b) = λa± λb

(－λ)a=－(λa) = λ(－a)

|λa|=|λ||a|

2、平面向量數量積公式

已知兩個非零向量a、b，那麼a·b=|a||b|cosθ（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數量積或內積，記作a·b。

零向量與任意向量的數量積為0。數量積a·b的幾何意義是：a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。

兩個向量的數量積等於它們對應座標的乘積的和。即：若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a·b=x1·x2+y1·y2