八年級動點問題題型方法歸納

例題:

如圖，矩形ABCD中，AB=6 ，∠ABD=30°，動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度在射線AB上運

動，設點P運動的時間是t秒，以AP為邊作等邊△APQ（使△APQ和矩形ABCD在射線AB的同側）.

(1)當t為何值時，Q點在線段BD上當t為何值時，Q點在線段DC上

(2)設AB的中點為N，PQ與線段BD相交於點M，是否存在△BMN為等腰三角形若存在，求出t的值若不存在，説明理由

一、當t為何值時，Q點在線段BD上

當Q點在線段BD上時，從Q點作△APQ的高，交AP於點E

1、由題目中的條件：v=1，根據距離的計算公式：s=vt，則AP=vt=t

2、在等邊△APQ中，QE=√3 AP /2=√3t/2，AE= AP /2=t/2

3、根據題目中的條件：∠ABD=30°，在Rt△BEQ中，BE=√3QE=3t/2

4、由題目中的條件：BE=AB-AE=6-t/2，根據結論：BE=3t/2，則6-t/2=3t/2，即t=3。

所以，當t為3時，Q點在線段BD上。

二、當t為何值時，Q點在線段DC上

當Q點在線段CD上時，從Q點作△APQ的高，交AP於點F，交BD於點G

1、由題目中的條件：v=1，根據距離的計算公式：s=vt，則AP=vt=t

2、在等邊△APQ中，QF=√3/2*AP=√3t/2

3、根據題目中的條件：四邊形ABCD為矩形，則AB∥CD

4、根據題目中的條件：QF⊥AB，DA⊥AB，根據平行線的判定：垂直於同一直線的兩直線平行，則QF∥DA

5、由結論：AB∥CD，QF∥DA，DA⊥AB，根據矩形的判定，則四邊形AFQD為矩形

6、根據矩形的性質，則AD= QF=√3t/2

7、根據題目中的條件：∠ABD=30°，在Rt△ABD中，AB=√3AD=3t/2

8、由題目中的條件：AB=6，則3t/2=6，即t=4

所以，當t為4時，Q點在線段CD上。

三、設AB的中點為N，PQ與線段BD相交於點M，是否存在△BMN為等腰三角形若存在，求出t的值若不存在，説明理由

1、當t=3時，AP=3，則BP=6-AP=3

根據等邊三角形的性質：QP=AP=3，則QP=BP，BP=AP，此時△BQP為等腰三角形且P點為AB的中點，即P點與N點重合

所以，當t=3時，△BMN為等腰三角形。

2、當△BMN為等腰三角形，其中BM=BN時，過M點作△BMN的高，交AB於點K

根據題目中的條件：N為AB的中點，則BN= AB /2=3

根據等腰三角形的性質：BM=BN=3

根據題目中的條件：∠ABD=30°，在Rt△BMK中，BK = BM√3 /2=3√3 / 2，MK=3/2

根據題目中的條件：∠QPA=60°，在Rt△MKP中，KP=MK/√3=√3/2

根據題目中的條件：BP=BK-KP=√3，則t=AP=6-√3

所以，當t=6-√3時，△BMN為等腰三角形。

3、當△BMN為等腰三角形，其中BM=MN時，過M點作△BMN的高，交AB於點T

根據等腰三角形的性質：BT= BN /2 =3/2

根據題目中的條件：∠ABD=30°，在Rt△BMT中，MT =BT/√3，MT=√3/2

根據題目中的條件：∠QPA=60°，在Rt△MTP中，TP=MT/√3=1/2

根據題目中的條件：BP=BT-TP=1，則t=AP=6-1=5

所以，當t=5時，△BMN為等腰三角形。

一般都是採用將軍飲馬問題來解決重點問題。就是過兩個定點，當中的一個做一條直線的對稱點，然後連接對稱點和另一條定點，它的焦點就是我們找到的一個動點。就是數學模型。