連續有界性定理

函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，連續函數又是數學分析中非常重要的一類函數。在數學中，連續是函數的一種屬性。而在直觀上來説，連續的函數就是當輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函數。函數極限的存在性、可微性，以及中值定理、積分等問題，都是與函數的連續性有着一定聯繫的，而閉區間上連續函數的性質也顯得非常重要。在閉區間上連續函數的性質中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基礎。

在極限理論中，我們知道閉區間上連續函數具有5個性質，即：有界性定理、最大值與最小值定理、介值定理、零點定理和一致連續性定理。其中，零點定理是介值定理的一個重要推論。而閉區間上連續函數的有界性定理的證明，在很多數學教材中，有多種方法可以證明此定理。比如可以利用閉區間套定理、確界定理、單調有界定理和柯西收斂準等。我們知道，分析數學上所列舉的實數完備性的7個基本定理是相互等價的，因而從原則上講，任何一個都可以證明該定理。在本文中，我們分別討論一元連續函數和二元連續函數的有界性定理，分別給出一種證明方法