X與Y什麼時候相互獨立

這是離散隨機變量。x和y是獨立的。

用定義證明。p（x=0，y=-1）=p（x=0）p（y=-1），以此類推即可。

事實上，只要聯合分佈律每一行或者每一列成比例，可以直接看出x和y是獨立的。首先兩個隨機變量X與Y獨立的直觀含義就是X的取值不影響Y的取值，反之也是這樣

簡單的説，就是不管X取什麼值，Y取值還是按照自己的規律來，比如當X=1時或X=2時，或其它……，Y的取值規律不變，這句話用數學描述（這很重要，把語言轉換成數學符號，是學數學最關鍵的一步）：

P{Y≤y｜X≤x}=P{Y≤y}

這一步能理解，那下面肯定沒問題了

由條件概率定義有

P{Y≤y｜X≤x}=P{Y≤y，X≤x}/P{X≤x}=P{Y≤y}

把最後等式左邊分母乘到右邊，即有

P{Y≤y，X≤x}=P{Y≤y}P{X≤x}

上等式的右邊就是聯合分佈，右邊就是邊緣分佈函數

再求導就得到題主的結論

證明很簡單，從原始定義出發，直接求導

另外這個相等是指在幾乎處處意義下，如果題主沒有學過測度論或實變函數，這個可以走過

X與Y什麼時候相互獨立

判斷x，y相互獨立的條件：對（X，Y）任意可能的取值（xi，yj）均有P（X=xi，Y=yj）=P（X=xi）*P（Y=yj）或f(x，y)=f（x）*f（y）。（X，Y）是二維隨機變量。二維隨機變量( X，Y)的性質不僅與X 、Y 有關，而且還依賴於這兩個隨機變量的相互關係。

因此，逐個地來研究X或Y的性質是不夠的，還需將（X，Y）作為一個整體來研究。