分層隨機抽樣的均值與方差推導

     假設總體數量為N，其中包含某種特徵A的個體數量為a，那麼總體比例為π=a/N

    此時抽出容量為n的樣本，其中包含特徵A的個體數量為a1，則樣本比例為p=a1/n。

   。由於進行抽樣的時候，每一次抽取都可以看成是一次獨立重複實驗（可以理解為抽到包含A特徵的個體為“成功”，否則為“失敗”，“成功率”為π），抽出n的樣本就可以看成進行了n次獨立重複實驗。那麼a1即“成功”的次數服從二項分佈，即a1~B（n，π）。

故 E（p）=E（a1/n）=（1/n）*E（a1）=（1/n）*nπ=π

D（p）=D（a1/n）=（1/n²）*D（a1）=（1/n²）*nπ（1-π）=π（1-π）/n

根據中心極限定理，當n充分大時，p近似服從於N（π，π（1-π）/n）。