可逆矩陣特徵向量一定相同嗎

矩陣和矩陣的逆有相同的特徵向量。

解：設Ax=kx

兩邊左乘A^(-1):A^(-1)Ax=KA^(-1)x

x=kA^(-1)x

A^(-1)x=(1/k)x。

説明若x是A對應k的特徵向量的話，x也是其逆陣對應（1/k）的特徵向量。

擴展資料：

從數學上看，如果向量v與變換A滿足Av=λv，則稱向量v是變換A的一個特徵向量，λ是相應的特徵值。這一等式被稱作“特徵值方程”。

假設它是一個線性變換，那麼v可以由其所在向量空間的一組基表示為：其中vi是向量在基向量上的投影（即座標），這裏假設向量空間為n 維。由此，可以直接以座標向量表示。利用基向量，線性變換也可以用一個簡單的矩陣乘法表示。

但是，有時候用矩陣形式寫下特徵值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空間是無窮維的時候，上述的弦的情況就是一例。取決於變換和它所作用的空間的性質，有時將特徵值方程表示為一組微分方程更好。

若是一個微分算子，其特徵向量通常稱為該微分算子的特徵函數。例如，微分本身是一個線性變換因為（若M和N是可微函數，而a和b是常數）

考慮對於時間t的微分。其特徵函數滿足如下特徵值方程。

其中λ是該函數所對應的特徵值。這樣一個時間的函數，如果λ = 0，它就不變，如果λ為正，它就按比例增長，如果λ是負的，它就按比例衰減。例如，理想化的兔子的總數在兔子更多的地方繁殖更快，從而滿足一個正λ的特徵值方程。

該特徵值方程的一個解是N = exp(λt)，也即指數函數這樣，該函數是微分算子d/dt的特徵值為λ的特徵函數。若λ是負數，我們稱N的演變為指數衰減若它是正數，則稱指數增長。λ的值可以是一個任意複數。因此d/dt的譜是整個複平面。

在這個例子中，算子d/dt作用的空間是單變量可微函數的空間。該空間有無窮維（因為不是每一個可微函數都可以用有限的基函數的線性組合來表達的）。但是，每個特徵值λ所對應的特徵空間是一維的。它就是所有形為N = N0exp(λt)的函數的集合。N0是任意常數，也就在t=0的初始數量。