有限元高斯積分原理

原理的單元平衡方程是有限元計算的根本。其形式就是單元剛度矩陣(element stiffness matrix)乘以位移向量等於右邊的荷載向量(right hand side vector)：

left[ K_E right]left{ Delta d right}_n=left{ Delta R_E right}

其中，[K_E]= int_{Volume} [B]^T [D] [B]d Vol 為單元剛度矩陣。

{Delta R_E}=int_{Volume} [N]^T{Delta F})d Vol +int_{Surface}[N]^T {Delta T} d Surf 為右側的單元荷載向量。

這裏的d Vol是體積的微分，在二維問題裏，寫開來其實就是tcdot dxcdot dy（所以 d Surf 當然是dxcdot dy啦）。 進一步放到母單元中可以寫成 d Vol = t cdot dxcdot dy= t cdot left| J right|cdot dS cdot dT ，那麼

[K_E]=int_{-1}^{1}int_{-1}^{1}t[B]^T [D] [B] left| J right|cdot dS cdot dT，右邊的荷載向量也可以用Jacobian矩陣做mapping，然後積分。

有限元高斯積分原理

高斯積分法的原理其實很簡單，我們要對一個函數在 [公式] 區間內求積分，即 [公式] ，在我們有限元裏就是其數值解可以通過某幾個點的函數值加權來確定各個高斯積分點的函數值。