a矩陣的秩和a的伴隨矩陣的秩

矩陣A的秩與A的伴隨矩陣的秩的關係：

1、如果 A 滿秩，則 A* 滿秩

2、如果 A 秩是 n-1，則 A* 秩為 1

3、如果 A 秩 < n-1，則 A* 秩為 0 。（也就是 A* = 0 矩陣）

矩陣滿秩，R（A）=n，那麼R（A-1）=n，矩陣的逆的秩與原矩陣秩相等，而且初等變換不改變矩陣的秩，A*=|A|A-1，R（A*）=n

R（A）=n-1，行列式|A|=0，但是矩陣A中存在n-1階子式不為0，對此有：

AA*=|A|E=0，從而r(A)+r(A*)小於或等於n，也就是r(A*)小於或等於1，又因為A中存在n-1階子式不為0，所以Aij≠0，得r(A*)大於或等於1，所以R（A*）=1

R（A）<n-1，那麼A的所有n-1階子式全為零，A*即為零（規定：零矩陣的秩為零），故R（A*）=0

擴展資料

矩陣的秩的性質：

1、矩陣的行秩，列秩，秩都相等。

2、 初等變換不改變矩陣的秩。

3、 矩陣的乘積的秩Rab<=min{Ra，Rb}。

4、P，Q為可逆矩陣，則 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。

5、當r(A)<=n-2時，最高階非零子式的階數<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。

6、當r(A)<=n-1時，最高階非零子式的階數<=n-1，所以n-1階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零（等號成立時伴隨陣必為非零）。

如果A是滿秩，那麼其伴隨矩陣也是滿秩

如果A（n階矩陣）的秩是n-1，那麼伴隨矩陣的秩是1

如果A的秩是小於n-1的話，伴隨矩陣的秩是0。

矩陣滿秩，R（A）=n，那麼R（A-1）=n，矩陣的逆的秩與原矩陣秩相等，而且初等變換不改變矩陣的秩，A*=|A|A-1，R（A*）=n

R（A）=n-1，行列式|A|=0，但是矩陣A中存在n-1階子式不為0，對此有：

AA*=|A|E=0，從而r(A)+r(A*)小於或等於n，也就是r(A*)小於或等於1，又因為A中存在n-1階子式不為0，所以Aij≠0，得r(A*)大於或等於1，所以R（A*）=1

R（A）<n-1，那麼A的所有n-1階子式全為零，A*即為零（規定：零矩陣的秩為零），故R（A*）=0

擴展資料

根據伴隨矩陣的元素的定義：每個元素等於原矩陣去掉該元素所在的行與列後得到的行列式的值乘以（-1）的i+j次方的代數餘子式。有：

1、當r(A)=n時，由於公式r(AB)<=r(A)，r(AB)<=r(B)，並且r(AA*)=r(I)=n，則，伴隨的秩為n

2、當r(A)=n-1時，r(AA*)=|A|I=0，加上公式r(A)+r(B)<=n-r(AB)，帶入得到，r(A*)=1

3、當r(A)<n-1時，由上述定義得到伴隨矩陣其每個元素都為零，所以秩為零。