四次函數是軸對稱嗎

不一定，四次函數的導函數是三次函數，三次函數一定有對稱中心，如果導函數對稱中心在x軸上，那麼四次函數就有對稱軸，軸對稱圖形是偶函數，那麼四次函數是f(x)＝ax∧4＋bx³＋cx²＋dx＋e，怎麼看是不是軸對稱(偶函數)

用f(-x)＝a(-x)∧4＋b(-x)³＋c(-x)²＋d(-x)＋e＝ax∧4-bx³+cx²-dx＋e，若b=d＝0則f(-x)＝f(x)，那麼f(x）為軸對稱函數，即偶函數，否則不為軸對稱

對稱有一個充要條件是對稱的每兩個點的每一階導數(1，2，3....)相等或者相反。比較準確的説法是：

1、對於中心對稱，所有奇數階導數相同，偶數階導數相反。

2、對於軸對稱，所有奇數階導數相反，偶數階導數相同。

一次方程每個點任何一階導數都恆定，二階以上都為0.滿足條件1，所以關於自己上面的任何點都中心對稱。

二次函數f(x) = a x^2 + b x + c 三階並以上的任何導數都為0，一階導數為2ax+b，所以關於-b/2a對稱的每兩個點的一階導數相反，二階導數都是恆定值2a，所以滿足條件2。

類似的，對於三次函數f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d如果有兩個極值點的話，關於這兩個極值點對稱如果只有一個導數為0的點，則關於這個點對稱。因為只有這兩個點一階導為零，無論是滿足條件1還是條件2，都只能是這兩個點互為對稱點(如果只有一個導數為0的點，則這個點為中心對稱點)。

，所以它的兩個根滿足. 注意到， 由於，所以兩個極值點的二階導數相反。現在證明下三次函數

關於 中心對稱：

a. 三階導數恆定，三階以上導數為0，滿足條件2.

b. 由於關於 軸對稱，説明關於 中心對稱的兩個點的一階導數相同，滿足條件2.

c. 關於 中心對稱， 説明關於 中心對稱的兩個點的二階導數相反，滿足條件2.

以上説明有兩個極值點關於 中心對稱。類似對於只有一個導數為0的點的情況就是把合併成一個點，計算過程完全相同。所以三階函數是中心對稱的。

但關於四階函數有，二階，三階。注意到：

a. 四階函數只能是軸對稱(正負無窮都趨於正無窮)。而無論它有一個或者三個極值點，都需要滿足對稱軸經過中間的那個極值點(為了滿足一階導數相反，所以導數為0的點只能跟導數為0的點對稱)。

b. 但對稱點三階導數要相反的話，必須關於即對稱.

顯然要同時滿足條件a，b的話只能是方程中間的極值點，即， 但顯然這不一定滿足，所以四階方程不一定對稱。

總的來説，高階函數所需要滿足的條件在不斷的增多(低階函數的高次導數都為0滿足了條件)，使得要對稱更加的苛刻。所以三次並三次一下的函數滿足對稱，而三次以上就非常困難。