證明向量組線性無關的方法

證明矩陣向量組線性無關，就是把這些向量組成一個矩陣，然後用初等行變換將之變成只含1和0的矩陣然後觀察每列的元素，如果某一列能夠被其他列線性計算表示，則説明是線性相關，反之線性無關。

證明舉例：A=[1 0 0]T 和B= [010]T 和C= [001]T， 他們之間是沒辦法 用 A = b*B+c*C 來表示的，或者找不到b和c，使得 A = b*B+c*C成立， 此時説明A和B C線性無關。反之，如果能找到b和c，使得 A = b*B+c*C成立，那麼A和B C線性無關

判斷特徵向量線性無關的方法：

1、顯式向量組

將向量按列向量構造矩陣A。

對A實施初等行變換

將A化成行梯矩陣。

梯矩陣的非零行數即向量組的秩。

如果向量組的秩

<

向量組所含向量的個數，則向量組線性相關。

否則向量組線性無關。

2、隱式向量組

一般是設向量組的一個線性組合等於0。

若能推出其組合係數只能全是0，則向量組線性無關。

否則向量組線性相關。

例如：a1=(1，1，3，1)，a2=(3，-1，2，4)，a3=(2，2，7，-1)

解：令x(1，1，3，1)＋y(3，－1，2，4)＋z(2，2，7，－1)＝(0，0，0，0)

有x＋3y＋2z＝0，且x－y＋2z＝0，且3x＋2y＋7z＝0，且x＋4y－z＝0。

這個方程組有且只有零解，即x＝y＝z＝0，故線性無關。

擴展資料：

簡單的相關性和無關性的判斷：

1、整體線性無關，局部必線性無關。

2、向量個數大於向量維數，則此向量組線性相關。

3、若一向量組線性無關，即使每一向量都在同一位置處增加一分量，仍然線性無關。

4、若一向量組線性相關，即使每一向量都在同一位置處減去一分量，仍然線性相關。