向量的座標表示及其運算的公式

加法

已知向量AB、BC，再作向量AC，則向量AC叫做AB、BC的和，記作AB+BC，即有：AB+BC=AC。

用座標表示時，顯然有：AB+BC=(x2-x1，y2-y1)+(x3-x2，y3-y2)=(x2-x1+x3-x2，y2-y1+y3-y2)=(x3-x1，y3-y1)=AC。這就是説，兩個向量和與差的座標分別等於這兩個向量相應座標的和與差

三角形法則：AB+BC=AC，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則，簡記為：首尾相連、連接首尾、指向終點。

四邊形法則：已知兩個從同一點A出發的兩個向量AC、AB，以AC、AB為鄰邊作平行四邊形ACDB，則以A為起點的對角線AD就是向量AC、AB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則，簡記為：共起點 對角連。

對於零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

向量的加法滿足所有的加法運算定律，如：交換律、結合律。

減法

AB-AC=CB，這種計算法則叫做向量減法的三角形法則，簡記為：共起點、連中點、指被減。

-(-a)=aa+(-a)=(-a)+a=0a-b=a+(-b)。

數乘

實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa。當λ>0時，λa的方向和a的方向相同，當λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當λ = 0時，λa=0。

用座標表示的情況下有：λAB=λ(x2-x1，y2-y1)=(λx2-λx1，λy2-λy1)

設λ、μ是實數，那麼滿足如下運算性質：

(λμ)a= λ(μa)

(λ + μ)a= λa+ μa

λ(a±b) = λa± λb

(－λ)a=－(λa) = λ(－a)

|λa|=|λ||a|

數量積

已知兩個非零向量a、b，那麼a·b=|a||b|cosθ（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數量積或內積，記作a·b。零向量與任意向量的數量積為0。數量積a·b的幾何意義是：a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。

兩個向量的數量積等於它們對應座標的乘積的和。即：若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a·b=x1·x2+y1·y2

向量的座標運算公式是λAB=λ(x2-x1，y2-y1)=(λx2-λx1，λy2-λy1)。實數λ和向量a的叉乘乘積是一個向量，記作λa，且|λa|=|λ|*|a|。

當λ>0時，λa的方向與a的方向相同當λ<0時，λa的方向與a的方向相反當λ=0時，λa=0，方向任意。當a=0時，對於任意實數λ，都有λa=0。<br>注：按定義知，如果λa=0，那麼λ=0或a=0。實數λ叫做向量a的係數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當 |λ|>1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸長為原來的|λ|倍

座標表示： 在直角座標系內，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底。

任作一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x、y，使得： ，我們把(x，y)叫做向量a的（直角）座標。 其中x叫做a在x軸上的座標，y叫做a在y軸上的座標，上式叫做向量的座標表示。在平面直角座標系內，每一個平面向量都可以用一對實數唯一表示。 根據定義，任取平面上兩點 即一個向量的座標等於表示此向量的有向線段的終點座標減去始點的座標。

運算： AB+BC=(x2-x1，y2-y1)+(x3-x2，y3-y2)=(x2-x1+x3-x2，y2-y1+y3-y2)=(x3-x1，y3-y1)=AC。

λAB=λ(x2-x1，y2-y1)=(λx2-λx1，λy2-λy1)