橢圓的標準方程x和y怎麼求

橢圓的標準方程共分兩種情況[1]：

當焦點在x軸時，橢圓的標準方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)

當焦點在y軸時，橢圓的標準方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)

其中a^2-c^2=b^2

推導:PF1+PF2>F1F2(P為橢圓上的點 F為焦點)

中文名

橢圓標準方程

外文名

Standard equation of the ellipse

別稱

線條

表達式

x^2/a^2+y^2/b^2=1

提出者

數學家

方程推導

設橢圓的兩個焦點分別為F1，F2，它們之間的距離為2c，橢圓上任意一點到F1，F2的距離和為2a（2a>2c）。

以F1，F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角座標系xOy，則F1，F2的座標分別為（-c，0)，（c，0)。

設M(x，y)為橢圓上任意一點，根據橢圓定義知

|MF1|+|MF2|=2a，（a>0）

即

將方程兩邊同時平方，化簡得

兩邊再平方，化簡得

又

設

得

兩邊同除以 ，得

這個形式是橢圓的標準方程。

通常認為圓是橢圓的一種特殊情況[2] 。

非標準方程

其方程是二元二次方程，可以利用二元二次方程的性質進行計算，分析其特性[3] 。

幾何性質

X，Y的範圍

當焦點在X軸時 -a≤x≤a，-b≤y≤b

當焦點在Y軸時 -b≤x≤b，-a≤y≤a

對稱性

不論焦點在X軸還是Y軸，橢圓始終關於X/Y/原點對稱。

頂點：

焦點在X軸時：長軸頂點：（-a，0），（a，0）

短軸頂點：（0，b），（0，-b）

焦點在Y軸時：長軸頂點：（0，-a），（0，a）

短軸頂點：（b，0），（-b，0）

注意長短軸分別代表哪一條軸，在此容易引起混亂，還需數形結合逐步理解透徹[4] 。

焦點：

當焦點在X軸上時焦點座標F1（-c，0）F2(c，0)

當焦點在Y軸上時焦點座標F1（0，-c）F2(0，c)

計算方法

(（其中 分別是橢圓的長半軸、短半軸的長，可由圓的面積可推導出來)或 （其中 分別是橢圓的長軸，短軸的長）[5] 。

圓和橢圓之間的關係：

橢圓包括圓，圓是特殊的橢圓。

參考資料

[1] 曹才翰.中國中學教學百科全書:數學卷[M].瀋陽:瀋陽出版社

[2] 沈金興. 數學文化視角下的橢圓標準方程推導[J]. 數學通訊， 2015(8):