列向量組線性無關的定義

先把向量組的各列向量拼成一個矩陣，並施行初等行變換變成行階梯矩陣，若矩陣A秩小於向量個數m，則向量組線性相關對於任一向量組而言，，不是線性無關的就是線性相關的。向量組只包含一個向量a時，a為0向量，則説A線性相關 若a≠0， 則説A線性無關。

擴展資料：

包含零向量的任何向量組是線性相關的。含有相同向量的向量組必線性相關。增加向量的個數，不改變向量的相關性(注意，原本的向量組是線性相關的)。

1、向量a1，a2， ···，an(n≧2)線性相關的充要條件是這n個向量中的一個為其餘(n-1)個向量的線性組合。

2、一個向量線性相關的充分條件是它是一個零向量。

3、兩個向量a、b共線的充要條件是a、b線性相關。

4、三個向量a、b、c共面的充要條件是a、b、c線性相關。

5、n+1個n維向量總是線性相關。

判斷：若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示，則稱為線性無關或線性獨立，反之稱為線性相關。 線性是從相互關聯的兩個角度來界定的：

（1）疊加原理成立

（2）物理變量間的函數關係是直線，變量間的變化率是恆量。在明確了線性的含義後，相應地非線性概念就易於界定：

1、“定義非線性算符N(φ)為對一些a、b或φ、ψ不滿足。

2、對（aφ ，bψ）的*做，等於分別對φ*和ψ*做外，再加上對φ與ψ的交叉項（耦合項）的*做，或者φ、ψ是不連續（有突變或斷裂）、不可微（有折點）的。

將向量按列向量構造矩陣A。對A實施初等行變換， 將A化成梯矩陣。梯矩陣的非零行數即向量組的秩。向量組線性相關 <=> 向量組的秩 < 向量組所含向量的個數。