泰勒公式餘項推導過程

泰勒公式（Taylor's formula） 帶Peano餘項的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反覆利用L'Hospital法則來推導， f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)

泰勒中值定理（帶拉格郎日餘項的泰勒公式）：若函數f(x)在含有x的開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開為一個關於（x-x.)多項式和一個餘項的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2，+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn(x) 其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1)，這裏ξ在x和x.之間，該餘項稱為拉格朗日型的餘項.

（注：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數，不是f(n)與x.的相乘.） 使用Taylor公式的條件是：f(x)n階可導.其中o((x-x0)^n)表示n階無窮小. Taylor公式最典型的應用就是求任意函數的近似值or公式還可以求等價無窮小，證明不等式，求極限等