極點極線比例定理的推導過程

極點與極線的比例定理及推論 1

極點與極線的比例定理及推論 比例定理:若點P關於圓錐曲線G的極線為l，過點P的直線與圓錐曲線G相交於A、B兩點，分別過點A、B作直線l的垂線，垂足分別為D、C，則:. y D 證明:以拋物線G:y2=2px(p>0)為例. A

設P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則極線l:y0y=p(x+x0)， C P

=(注意到:y12=2px1，y22=2px2)= B

=(注意到:==k)=，而=，故以下只需證明:=1，即|ky1-p|=|ky2-p|k(y1+y2)=2p，由(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)(注意到:y1-y2=

k(x1-x2))k(y1+y2)=2p，證畢. 推論1(中點性質):若圓錐曲線G過點P的弦AB平行於點P的極線，則點P是弦AB的中點. 證明:分別過點A、B作極線l的垂線，垂足分別為D、C，弦AB平行於點P的極線lAD=BC，由AP:BP=AD:BCAP=BP點P是弦AB的中點. 推論2(平分性質):若點P關於圓錐曲線G的極線為l，過點P的直線與圓錐 y D

曲線G相交於A、B兩點，分別過點A、B、P作直線l的垂線，垂足分別

為D、C、H，則AC與BD的交點M平分PH. H A 證明:因AD:BC=AP:BP，由AD∥BCAD:BC=AM:MCAP:BP=AM:MC C M P

PM∥BCM在PH上又由PH∥BCPM:BC=AM:AC=DM:DB=MH:BCPM=MH D

M平分PH. 推論3(面積關係):已知點P關於圓錐曲線G的極線為l，過點P的直線與圓錐曲 D1

線G相交於A、B兩點，分別過點A、B的兩條平行線與直線l交於點D、C， C A

記△APD、△CPD、△BPC的面積分別為S1，S2，S3，則:S22=4S1S2. C1 P 證明:首先證明如下引理: O x B